2. OPIS OPROGRAMOWANIA

Jak wspomniano, - dla przeprowadzenia obserwacji niezbędny jest program wyliczający topocentryczną efemerydę zakryć gwiazd przez Księżyc. Pierwszym etapem konstrukcji takiego programu jest utworzenie dwóch modułów, których zadaniem jest obliczanie miejsc widomych Księżyca i gwiazd. Program główny natomiast porównuje miejsca widome gwiazdy i Księżyca. Jeżeli zachodzi zjawisko zakrycia (miejsca widome w obu programach są identyczne z dokładnością do chwilowej tarczy Księżyca), informacja jest zapisywana do pliku efemerydy.

Rys.2.1. Schemat blokowy programu

Dane, z których korzysta program pochodzą z katalogu Hipparcos i efemerydy DE 405 z JPL. Katalog zawiera informacje o gwiazdach, które są potencjalnymi uczestnikami zakrycia a z efemerydy DE 405 dostarczane są dane o położeniu Ziemi, Księżyca i Słońca. Do konstrukcji programu wyliczającego miejsca widome gwiazd 'star.c' zastosowano algorytm opublikowany w The Astronomical Almanac 1996. Początkowo program korzystał z katalogu FK5 i z dwóch programów (otrzymanych dzięki uprzejmości dr P.A. Dybczyńskiego) (Soma, 1988). Pierwszy znich służył do określenia helicentrycznego polożenia Ziemi, helicentrycznego położenia barycentrum Układu Słonecznego i barycentrycznej prędkości Ziemi a drugi służył do generowania kątów nutacyjnych i . Oba programy zostały zastąpione przez efemerydę DE 405. W celu zwiększenia dokładności i liczby gwiazd branych pod uwagę w obliczeniach katalog FK 5 zastąpiony został przez katalog Hipparcos'a. Ostateczna wersja programu 'star.c' wymaga podania daty juliańskiej (w skali TDT) i numeru katalogowego gwiazdy a wynikiem końcowym jest rektascencja i deklinacja miejsca widomego wybranej gwiazdy.

Drugi z modułów to program 'moon.c' wyliczający miejsce widome Księżyca. Zastosowano tu algorytmy opublikowane w Astronomical Journal (Kaplan, 1997) oraz w The Astronomical Almanac (1996). Bazę stanowi również efemeryda DE 405. Po uruchomieniu program żąda danych dotyczących położenia obserwatora (długość, szerokość i wysokość geodezyjna) oraz juliańskiej daty obserwacji. Końcowym efektem obliczeń jest miejsce widome Księżyca i topocentryczną odległość do środka masy Księżyca.

Program główny - 'efemain.c' korzysta z programów 'star.c', 'moon.c' i 'phase.c' (odpowiedzialnego za wyznaczenie warunków obserwacji - elongacji i fazy Księżyca) i wylicza topocentryczne efemerydy zakryć gwiazd przez Księżyc. W programie zastosowano własny algorytm oparty na iteracjach i metodzie bisekcji.

Oprócz opisanego powyżej programu podstawowego i programów pomocniczych powstały również programy do transformacji katalogu Hipparcos do katalogu zodiakalnego na epokę J2000 (w tym celu skorzystano z fragmentów programu udostępnionego dzięki uprzejmosci R.Hirscha).

2.1. Program obliczający współrzędne Księżyca

Poniżej opisano algorytm zastosowany podczas tworzenia programu liczącego miejsce widome Księżyca.

Jak wspomniano powyżej, dane wejściowe dla programu 'moon.c', dostarczane z programu głównego dotyczą położenia obserwatora na powierzchni Ziemi i momentu czasu, na który wylicza się współrzędne Księżyca (Rys.2.2).

Rys.2.2. Współżędne geodezyjne (Schemat).

2.1.1. Określenie elementów macierzy nutacji.

Dwa fundamentalne kąty nutacyjne i (opisujące różnice pomiędzy biegunem średnim i chwilowym) uzyskiwane są z efemerydy DE 405 za pomocą programu 'skyjpl.c' . Wartości średniego nachylenia ekliptyki do równika i prawdziwe nachylenie ' na epokę obserwacji otrzymywane są za pomocą równania (1):

= 84 381,448 - 46,8150 T - 0,000 59 T + 0,001 813 T (1)

' = +

Kąty wyrażone są w sekundach łuku. Wartość nachylenia na epokę J2000,0 wynosi 232621,448 i jest wartością zatwierdzoną przez Międzynarodową Unię Astronomiczną (IAU, 1976). Macierz nutacji przedstawiono poniżej :

(2)

2.1.2. Wyznaczenie kątów precesyjnych oraz budowa macierzy precesji

Trzy fundamentalne kąty precesyjne otrzymuje się na podstawie poniższych równań (3):

= 2306,2182 T + 0,30188 T + 0,017998 T (3)

z = 2306,2181 T + 1,09468 T + 0,018203 T

= 2004,3109 T - 0,42665 T - 0,041833 T

T jest liczbą stuleci juliańskich pomiędzy J2000,0 a epoką obserwacji.

T=(JD - 2451545) / 36525 (4)

Wyznaczone kąty , z, wyrażone są w sekundach łuku wprowadza się do macierzy precesji :

(5)

2.1.3. Macierz precesyjno-nutacyjna i jej odwrotność

Macierz precesyjno-nutacyjną R i macierz R przedstawiono poniżej (6):

R = PN (6)

a macierz odwróconą do R wylicza się wg wzoru (7):

(7)

2.1.4. Wyznaczenie czasu gwiazdowego

Czas GMST (średni czas gwiazdowy dla Greenwich) otrzymywany jest na podstawie równania (8):

GMST=24110,54841 + 8640184,812866T + 0,093104T - (6,2 10)T (8)

a prawdziwy czas gwiazdowy dla Greenwich uzyskuje się po uwzględnieniu równania równonocy (9):

GAST = GMST + cos( ' ) (9)

Miejscowy czas gwiazdowy na określony moment czasu wyznacza się z równania (10):

LAST= GAST + dt k 24 - k (T/3600) + [godziny] (10)

gdzie:

dt to ułamek doby

T = TDT-UT

k = 366,2422 / 365,2422

jest długością geograficzną (wyrażoną w jednostkach czasu).

Ponieważ nie istnieją wystarczająco dokładne aproksymacje - wielkość T należy wprowadzić na podstwie danych IERS (International Earth Rotation Service (http://hpiers.obspm.fr)). Na rok 1999 wielkość ta wynosi 64s.

Tak otrzymany czas gwiazdowy należy znormalizować odejmując całkowitą liczbę dwudziestu czterech godzin.

2.1.5. Geocentryczna prędkość i położenie obserwatora.

Do wyznaczenia tych dwóch wektorów niezbędne są dokładnie dane dotyczące położenia obserwatora i kształtu Ziemi. Wielkości charakteryzujące kształt Ziemi to spłaszczenie f i półoś wielka a (promień równikowy):

f = 0,003352813177897

a = 6378140 [m] (IAU, 1976).

Współczynniki C i S niezbędne do wyznaczenia geocentrycznego położenia obserwatora uzyskuje się na podstawie poniższych wzorów:

,

(11)

a składowe geocentrycznego wektora położenia obserwatora ze wzorów (12):

G = (aC + h) cos() cos( S) (12)

G = (aC + h) cos() sin( S)

G = (aS + h) sin()

Wektor ten wyrażony w metrach należy wyrazić w jednostkach astronomicznych. W tym celu należy podzielic składowe wektora przez liczbę metrów zawartych w jednej jednostce astronomicznmej (1AU = 1,4959787010 m), (IAU, 1976).

Geocentryczny wektor prędkości obserwatora (o składowych G',G',G') uzyskuje się dzięki zastosowaniu poniższych równań (13):

G' = (aC + h) cos() cos( S) (13)

G' = (aC + h) cos() sin( S)

G' = 0

gdzie jest prędkością kątową ruchu wirowego Ziemi.

W celu uzyskania wartości wektorów G i G' na epokę J2000 należy otrzymane wartości G i G' (13) pomnożyć przez macierz R (7) i ostatecznie:

g = R G (14)

g' = R G'

2.1.6. Czas aberracji.

Do obliczenia czasu aberracji zastosowana została metoda iteracji. Jako pierwsze przybliżenie odległości przyjmuje się geometryczną odległość pomiędzy obserwatorem a Księżycem w chwili obserwacji (JD):

d = | Q - E |, (15)

gdzie wektory Q i E to odpowiednio odległość do Księżyca i obserwatora z barycentrum Układu Słonecznego. W pierwszym przyblizeniu wylicza się czas aberracji stosując wzór:

= d / 173,144633, (16)

gdzie stała 173,144633 jest prędkością światła mierzoną w jednostkach astronomicznych na dobę. Drugie przybliżenie odległości:

d = | Q( JD) - E( JD) |, (17)

JD= JD-

Następnie iteruje się poniższe wzory (18) aż do osiągnięcia zbieżności szeregu:

d = | Q(JD) - E( JD) | (18)

= d/ 173,144633

Wektory Q i E otrzymuje się z programu 'skyjpl.c' (efemeryda DE405). Szereg jest szybkozbieżny i już po czwartej iteracji wartość czasu aberracji jest ustabilizowana na wymaganym poziomie dokładności.

2.1.7. Heliocentryczne położenie Księżyca i obserwatora

Do kolejnych obliczeń potrzebne są heliocentryczne położenie Księżyca i obserwatora Q i E na moment (JD - ) uzyskuje się z efemerydy DE405. Różnicą tych wektorów jest wektor P, który jest topocentrycznym wektorem do środka masy Księżyca:

P = Q - E (19)

2.1.8. Zakrzywienie toru światła

Przy wyznaczaniu zakrzywienia toru światła uwzględniany jest tylko wpływ Słońca. Wektor p reprezentuje kierunek położenia Księżyca po wprowadzeniu tej poprawki.

, (20)

gdzie:

e = E / | E | , q = Q / | Q | , p = P / | P |

są wektorami jednostkowymi wyznaczonymi podczas wyliczania helicentrycznego położenia Księżyca i obserwatora.

Pole grawitacyjne Ziemi jest zaniedbane, ponieważ efekty zakrzywienia toru światła są na poziomie kilku dziesiątych milisekund łuku (dla obserwatora znajdującego się na powierzchni Ziemi).

Efekt zakrzywienia toru światła, choć znacznie mniejszy pochodzi również od iinych planet. Na przykład efekty pochodzące od Jowisza będą mniejsze o czynnik równy stosunkowi mas tej planety do Słońca, czyli - 1 / 1047.

Istnieją także mniejsze zaburzenia kierunku, które są powodowane przez efekty relatywistyczne drugiego rzędu. Mogą one osiągnąć maksymalnie wartość 0,5 milisekundy w pobliżu brzegu Słońca są więc zaniedbywalne w naszym przypadku.

2.1.9. Aberracja światła

Do obliczenia poprawki na zjawisko aberracj potrzebna jest barycentryczna prędkość obserwatora. Barycentryczną prędkość Ziemi uzyskuje się z efemerydy DE 405 i dodaje do niej geocentryczną prędkość obserwatora g ' (uprzednio już wyznaczoną).

. (21)

Stąd - barycentryczna prędkość obserwatora wyrażona w jednostkach astronomicznych na dobę:

, (22)

gdzie 1/c = 0,00577551832 [d / AU].

Położenie Księżyca poprawione na zjawisko aberracji rocznej i dobowej ():

(23)

gdzie .

2.1.10. Uwzględnienie precesji i nutacji

Przejście do epoki daty czyli uwzględnienie precesji i nutacji jest realizowane przy pomocy macierzy precesyjno-nutacyjnej:

R = P N

p= R . p (24)

2.1.11. Współrzędne sferyczne

Współżędne sferyczne otrzymujemy ze wzorów (25, 26).

(25)

(26)

Rektascenca , deklinacja i topocentryczna odległość do środka masy Księżyca przekazywane są do programu głównego przez wspomniany program 'moon.c', gdzie wartości te porównywane są z wynikami otrzymanymi z JPL(NASA).

2.2. Testowanie programu 'moon.c'.

Przeprowadzone zostało badanie dokładności programu 'moon.c' dla danych na rok 1998. Dokładność uzyskana w tym programie wynosi 0.01 sekundy łuku. W tabeli 2.1. porównano wyniki dla Obserwatorium Astronomicznego w Poznaniu.

długość geodezyjna 16,8782 E

szerokość geodezyjna 52,3986

wysokość 83 m

T 63,1839

data juliańska JD	h	m	s		'	"
2450814,91666667	21 21	12 12	24,9730 24,9732	-14 -14	45 45	48,786 JPL 48,795
2450825,91666667	7 7	16 16	29,2491 29,2508	17 17	14 14	28,902 JPL 28,913
2451067,91666667	3 3	39 39	46,2753 46,2894	13 13	29 29	56,797 JPL 56,722
2451078,91666667	13 13	13 13	7,2676 7,2440	-4 -4	16 16	24,577 JPL 24,594

Tabela 1.2.